耶鲁大学公开课:博弈论第九节(笔记)

张亚宁   |     |   489 次阅读

一个月以前写的,现在转到论坛里了。数学公式的格式显示有些问题,可以看原文耶鲁大学公开课:博弈论第九节


Tennis: Venus VS Serena Williams

通过前面的内容我们得知如果要达到混合纳什均衡,那么混合纳什均衡中的任何一个策略的收益都是相当的。看似简单的结论,却意义非常深刻。

下面的例子是一个网球比赛的例子,我们假设在网球比赛中,Venus和William对阵,两人对对手都非常了解,此时Venus接到William的球,Venus该如何处理才能获得最高收益?两人是否有纳什均衡?

Venus \ Serena L R
L 50,50(表示50%的概率) 80,20 p
R 90,10 20,80 1-p
q 1-q

首先根据之前所学的知识,很容易得知,这里没有纯纳什均衡(pure NE)。所以让我们来尝试寻找混合纳什均衡(mixed NE)。

技巧:寻找混合纳什均衡的一个技巧是:如果要找到Serena的纳什均衡$$mix(p, 1-p)$$,就要根据Venus的收益来判断。

这里假设Venus的策略是$$q$$和$$1-q$$,那么Venus的收益对q为:

$$\begin{cases} L -> [50]q + 80\ R -> [90]q + 20\end{cases}$$

如果这里的Venus的策略是混合纳什均衡,那么它选择L和R的收益必然是相等的。

因此:$$[50]q + 80 = [90]q + 20$$

可解得$$q=0.6$$

同样的方法,可以解得$$p=0.7$$。

因此混合纳什均衡是:$$[(.7,0.3),(.6,.4)]$$。因此,如果观察Venus向左回击的概率高于0.7,那么Serena可以采取始终向左防守的策略。同理可得Venus的策略,如果观察Serena左侧防守的概率高于0.6,Venus可以采取始终向右回击的策略。

进一步研究这个问题,现在假设Serena通过训练,左手反击的能力大大加强,概率由原来的.5提升到.7那么改采取如何的策略呢?

有两种影响:

  1. Direct effect. Serena应该加强左侧防守,因为左侧能力变强,会有更大胜率。
  2. Strategy effect. Serena应该加强右侧防守,因为Venus回击左侧的概率会降低,所以Serena应该更多防守右侧。

到底应该是采取Direct effect,还是应该Strategy effect呢?通过之前的方法,可以解得,应该采取Stategy effect的方式。


链接:
http://open.163.com/movie/2007/7/H/S/M6GOEJOME_M7KDCO1HS.html
http://oyc.yale.edu/economics/econ-159/lecture-9

 
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